¿Cómo elaborar tablas de verdad para proposiciones compuestas?

La construcción de razonamientos válidos   juega un papel vital en los sistemas lógicos, permitiendo resolver problemas que implican procesos, esto hacen enfrentar al ser humano con su inteligencia y con los conocimientos previos.

En la actualidad la matemática se aplica para decidir si una proposición se sigue o es consecuencia lógica de una o más proposiciones. Esto también es cierto para los científicos de la computación que desarrollan algoritmos necesarios para un programa o sistemas de programas. (Ralph, Grimaldi. 1997; Página 51)

Razón por la cual las operaciones lógicas son aplicaciones de mucha utilidad. En la actualidad por excelencia los dispositivos digitales hacen uso de estos conocimientos para el correcto funcionamiento de sistemas, los cuales administran información.  

Tablas de Verdad

El valor de verdad de una declaración compuesta se puede determinar a partir de los valores de verdad de sus componentes. Una tabla que proporciona, para todos los posibles valores de verdad de los componentes, los valores de verdad resultantes de la declaración compuesta es una tabla de verdad. (Christopher Clapham and James Nicholson 2009; «truth table»)  

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921. Soluciones Matemáticas Discretas (2010).

 

Charles S. Peirce

Enseñó Filosofía en Harvard en 1864-65 y en 1869-70, fue después profesor de Lógica en la Johns Hopkins University de 1879 a 1884 y desarrolló cursos durante el mismo período en Bryn Mawr. Al mismo tiempo colaboraba con centenares de artículos en los periódicos de los especialistas. Su primer ensayo importante, Cómo hacer claras nuestras ideas, apareció en el Popular Science Monthly de enero de 1878 y fue traducido al francés y publicado por la Revue philosophique al año siguiente.

Ludwig Wittgenstein

Filósofo británico de origen austriaco. Hijo de un importante industrial del acero, estudió ingeniería en Berlín y en Manchester, donde trabajó como investigador en el campo de la aeronáutica durante tres años. Empezó entonces a interesarse por las matemáticas y sus fundamentos filosóficos, y se trasladó a Cambridge para estudiar lógica bajo la dirección de Bertrand Russell (1912-1913).

Los valores de verdad de las proposiciones, tales como conjunciones o disyunciones, se pueden describir por las tablas de verdad. La tabla de verdad de una proposición P, formada por las proposiciones individuales p1, . . . , pn, enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para p1, . . . , pn, donde V denota verdadero y F denota falso, y da la lista de valores de verdad de P para cada combinación. (Johnsonbaugh, Richard.2005; Página 3).

Aunque tal vez haya un camino más corto para determinar los valores de verdad de una proposición P formada al combinar las proposiciones p1, . . . , pn usando operadores como ￢ y ∨, la tabla de verdad siempre proporcionará todos los valores de verdad posibles de P para diferentes valores de las proposiciones que la constituyen p1, . . . , pn. (Johnsonbaugh, Richard.2005; página 7).

Precedencia del Operador (Dato importante) 

En las expresiones que incluyen algunos o todos los operadores ¬, ∧ y ∨, en la ausencia de paréntesis, primero se evalúa ¬, después ∧ y luego ∨. Esta convención se conoce como precedencia del operador. En álgebra, la precedencia del operador indica que se evalúan · y / antes que + y –.(Johnsonbaugh, Richard.2005; Página 6).

Componentes de la tabla de verdad 

Mediante la tabla de verdad podemos hallar la matriz principal que define al esquema proposicional.

Para construir una tabla de verdad se debe entrecruzar una recta vertical con una horizontal, llamándose margen al lado izquierdo y cuerpo al lado derecho. En la parte superior del margen se colocan las variables, y en la parte superior del cuerpo la fórmula proposicional. (Jonattan Poul León Segura 2013)

Combinaciones de Variables Proposicionales

Para estimar las filas o arreglos de valores de verdad, considerando que se conocen 2 valores de verdad F (Falso) y V (Verdadero), aplicaremos procesos matemáticos que nos permitan saber las posibles combinaciones de los valores de verdad, según las variables identificadas que están vinculadas por uno o varios conectivos lógicos.  

La regla del producto también conocida como el principio de elección:

Si un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda, y si existen m resultados posibles de la primera eta y si, para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar en el orden dado, de mxn formas. (Ralph, Grimaldi. 1997; página 5)  

Formula:  

2^{(número de variables)}

Ejemplo 1:

 (  )  (  ) 

Se considera 2 variables p y q. Por tanto la estimación de filas serán 2⁽²⁾ = 4.

Ejemplo 2:

(  )   (  ) 

Se considera 3 variables p,q y r. Por tanto la estimación de filas serán 2⁽³⁾ = 8.

Ejemplo 3:

(  s)   ( ) 

Se considera 4 variables p,q, r y s. Por tanto la estimación de filas serán 2⁽⁴⁾ = 16.

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Autor: 

 José Alexander Cojón Pérez

Profesor Física y Matemática 

 cienciaeducacion100@gmail.com

Fuentes Consultadas:

Ralph, Grimaldi. 1997. MATEMÁTICAS DISCRETAS Y COMBINATORIA.

3ra edición. ADDISON-WELEY IBEROAMERICANA. Pagina 5, 51.

Johnsonbaugh, Richard.2005. Matemática Discreta, Sexta edición, PEARSON EDUCACIÓN, México, Página 3,6,7

Christopher Clapham and James Nicholson (2009)  «truth table» (en inglés), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Oxford University Press, Recuperado de:  http://www.oxfordreference.com/search?q=truth+table&searchBtn=Search&isQuickSearch=true  [Consulta: 11 de febrero. 2018].

Soluciones Matemáticas Discretas (2010). Cálculo Proposicional. Recuperado de https://sites.google.com/site/mathematicasdiscretesolutions/home/proposiciones/tablas-de-verdad [Consulta: 11 de febrero. 2018].

Biografías y Vidas. Ludwig Wittgenstein. Recuperado de: https://www.biografiasyvidas.com/biografia/w/wittgenstein.htm  [Consulta: 11 de febrero. 2018].

Biografías y Vidas. Charles S. Peirce. Recuperado de: https://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/peirce.htm [Consulta: 11 de febrero. 2018].

Jonattan Poul León Segura  (2013 )Recuperado de http://lizerindex.blogspot.com/2013/10/partes-de-la-tabla-de-verdad.html [Consulta: 11 de febrero. 2018].