¿Cómo resolver triángulos rectángulos?

Trigonometría de triángulos rectángulos

Definición:

Porción del plano limitada por 3 rectas que se intersecan una a una en puntos llamados vértices.

Los triángulos se clasifican por la longitud de sus lados o la magnitud de sus ángulos.

Triángulos rectángulos

Su origen se encuentra en la cultura egipcia, específicamente en la geometría egipcia.

Los egipcios dominaban a la perfección los triángulos, ya que fueron la base para la construcción de sus pirámides, así como la medición de tierras. Se auxiliaban de los anudadores, hacían nudos igualmente espaciados para medir y se dieron cuenta que al ubicar cuerdas de diversas longitudes en forma de triángulo obtenían ángulos rectos y, por tanto, triángulos rectángulos, lo cual significa que tenían conocimiento de la relación que existe entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo.

Sin embargo, Pitágoras fue el primero en demostrar el teorema que lleva su nombre, el cual establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, aunque los egipcios y babilónicos lo utilizaban en sus cálculos y construcciones, pero sin haberlo demostrado.

(Colegio Nacional de Matemáticas,2009)

Solución de triángulos rectángulos:

 Dados tres datos de un triángulo, si uno de ellos es un lado, encontrar el valor de los datos restantes.

Para los triángulos rectángulos basta conocer el valor de uno de los lados y algún otro dato, el cual puede ser un ángulo u otro lado, debido a que el tercer dato siempre está dado ya que, al ser triángulo rectángulo, uno de los ángulos siempre será de 90°.

Cabe destacar que el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas son de suma importancia para la resolución de triángulos rectángulos.

Naturaleza del triángulo a partir del teorema de Pitágoras:

Razones trigonométricas

En los triángulos semejantes los ángulos son iguales y los lados homólogos son proporcionales. La razón entre los lados de un triángulo determina su forma.

Dado un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo agudo θ se definen:

• El seno es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
• El coseno es el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
• La tangente es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.  

Estas razones no dependen del tamaño del triángulo sino del ángulo.

 Despeje de las razones trigonométricas del ángulo θ: 

Razones trigonométricas del angulo ∅:

Despeje de las razones trigonométricas del ángulo ∅:

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Autor: 

 José Alexander Cojón Pérez

Profesor Física y Matemática 

 cienciaeducacion100@gmail.com

Fuentes consultadas:

Colegio Nacional de Matemáticas, (2009) Matemáticas simplificadas, Segunda edición, México. Editorial Pearson Educación. Página 857. 

María José García Cebrian. Consolación Ruiz Gil (2017) Trigonometría.  Recuperado de : http://procomun.educalab.es/es/ode/view/1416349667634 [Consulta: 14 de febrero. 2018].

¿Qué debo saber para Trigonométrica ?

Fundamentos de la Trigonometría:

Definición:

La rama de las matemáticas que trata con las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos, y los cálculos basados ​​en ellos.

Usa las   proporciones de los lados de un triángulo para calcular longitudes y ángulos en figuras geométricas. (Christopher Clapham and James Nicholson 2009)  

Ángulos:

Definición:

Un ángulo es la abertura comprendida entre 2 semirrectas que tienen un punto en común, llamado vértice.

Medidas de los ángulos:

Los ángulos se miden en grados o radianes de acuerdo al sistema.

Sistema sexagesimal:

El grado sexagesimal, 

como unidaddel sistema de

 medida de ángulos sexagesimal.

Este sistema de medir ángulos es el que se emplea normalmente: la circunferencia se divide en 360 partes llamadas grados, el grado en 60 partes llamadas minutos y el minuto en 60 partes que reciben el nombre de segundos.

Así un ángulo se mide en: gradosº minutos' segundos''

Sistema cíclico o circular:

Un ángulo de 1 radián corresponde al arco de circunferencia cuya longitud es su radio.
Una circunferencia completa corresponde a 2π radianes.

Este sistema utiliza como unidad fundamental al radián. El radián es el ángulo central subtendido por un arco igual a la longitud del radio del círculo. Se llama valor natural o valor circular de un ángulo.

(Colegio Nacional de Matemáticas,2009)

Conversión de grados a radianes y de radianes a grados:

Referencia de Ángulos.

Los ángulos se encuentran en todo aquello que tenga intersecciones de líneas, bordes, planos, etcétera. La esquina de una cuadra, el cruce de los cables de luz, al abrir un libro, la esquina de un cuarto, la abertura formada por las manecillas de un reloj, la unión de una viga y una columna, son algunos ejemplos de ángulos, éstos tienen aplicación en la aviación, la navegación, la topografía y la trigonometría, entre otros.

Ángulo vertical

Sirve para definir el grado de inclinación del alineamiento sobre un terreno. Si se toma como referencia la línea horizontal, al ángulo vertical se le conoce como pendiente de una línea, el cual es positivo (de elevación) o negativo (de depresión).

Ángulo horizontal

Lo forman 2 líneas rectas situadas en un plano horizontal. El valor del ángulo horizontal se utiliza para definir la dirección de un alineamiento a partir de una línea que se toma como referencia, y por lo regular son los puntos cardinales: norte (N), sur (S), este (E) y oeste (O).

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Autor: 

 José Alexander Cojón Pérez

Profesor Física y Matemática 

 cienciaeducacion100@gmail.com

Fuentes consultadas:

Christopher Clapham and James Nicholson (2009)  «trigonometry» (en inglés), The  Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Oxford University Press, Recuperado De http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/oi/authority.20110803105713776 [Consulta: 12 de febrero. 2018].

Colegio Nacional de Matemáticas, (2009) Matemáticas simplificadas, Segunda edición, México. Editorial Pearson Educación. Página 640,651.

María José García Cebrian. Consolación Ruiz Gil (2017) Trigonometría.  Recuperado de : http://procomun.educalab.es/es/ode/view/1416349667634 [Consulta: 14 de febrero. 2018].

 

Ejemplos para elaborar tablas de verdad

PROPOSICIONES COMPUESTAS

Existen conectivos u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas, es decir, formadas por varias proposiciones. Los operadores o conectores básicos son:

Conjunción (operador and)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Se le conoce como multiplicación lógica (and).

Disyunción (operador or)

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera.

Negación (operador not)

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su negación (falso) y viceversa. Este operador se indica por medio del símbolo [¬] [~].

Disyunción exclusiva (operador Xor)

 Además de los operadores básicos (And, Or y Not) existe el operador Xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador Or con la diferencia de que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, y cuando ambas son verdad, el resultado es falso.

PROPOSICIONES CONDICIONALES

Una implicación o proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. Se indica de la siguiente manera: (se lee "si p entonces q")

PROPOSICIÓN BICONDICIONAL

Sean p y q dos proposiciones. Una doble implicación o proposición es bicondicional cuando p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y sólo si q también lo es. Se indica de la siguiente manera:

  (se lee "p si y sólo si q")

(José Manuel Becerra Espinosa 2010)

Precedencia del operador

En las expresiones que incluyen algunos o todos los operadores ¬, ∧ y ∨, en la ausencia de paréntesis, primero se evalúa ¬, después ∧ y luego ∨. Esta convención se conoce como precedencia del operador. En álgebra, la precedencia del operador indica que se evalúan · y / antes que + y –.(Johnsonbaugh, Richard.2005).

Ejemplo con 2 variables: 

Ejemplo con 3 variables:

Representar simbólicamente el enunciado y elabore una tabla de verdad :

Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero.

p: Pago la luz.

q: Me cortarán la corriente eléctrica.

r: Me quedaré sin dinero.

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Autor: 

 José Alexander Cojón Pérez

Profesor Física y Matemática 

 cienciaeducacion100@gmail.com

Fuentes Consultadas:

José Manuel Becerra Espinosa (2010) MATEMÁTICAS BÁSICAS, Lógica Matemática.  Facultad de Contaduría y Administración. UNAM. México.

Johnsonbaugh, Richard.2005. Matemática Discreta, Sexta edición, PEARSON EDUCACIÓN, México, Página 6.

¿Cómo elaborar tablas de verdad para proposiciones compuestas?

La construcción de razonamientos válidos   juega un papel vital en los sistemas lógicos, permitiendo resolver problemas que implican procesos, esto hacen enfrentar al ser humano con su inteligencia y con los conocimientos previos.

En la actualidad la matemática se aplica para decidir si una proposición se sigue o es consecuencia lógica de una o más proposiciones. Esto también es cierto para los científicos de la computación que desarrollan algoritmos necesarios para un programa o sistemas de programas. (Ralph, Grimaldi. 1997; Página 51)

Razón por la cual las operaciones lógicas son aplicaciones de mucha utilidad. En la actualidad por excelencia los dispositivos digitales hacen uso de estos conocimientos para el correcto funcionamiento de sistemas, los cuales administran información.  

Tablas de Verdad

El valor de verdad de una declaración compuesta se puede determinar a partir de los valores de verdad de sus componentes. Una tabla que proporciona, para todos los posibles valores de verdad de los componentes, los valores de verdad resultantes de la declaración compuesta es una tabla de verdad. (Christopher Clapham and James Nicholson 2009; «truth table»)  

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921. Soluciones Matemáticas Discretas (2010).

 

Charles S. Peirce

Enseñó Filosofía en Harvard en 1864-65 y en 1869-70, fue después profesor de Lógica en la Johns Hopkins University de 1879 a 1884 y desarrolló cursos durante el mismo período en Bryn Mawr. Al mismo tiempo colaboraba con centenares de artículos en los periódicos de los especialistas. Su primer ensayo importante, Cómo hacer claras nuestras ideas, apareció en el Popular Science Monthly de enero de 1878 y fue traducido al francés y publicado por la Revue philosophique al año siguiente.

Ludwig Wittgenstein

Filósofo británico de origen austriaco. Hijo de un importante industrial del acero, estudió ingeniería en Berlín y en Manchester, donde trabajó como investigador en el campo de la aeronáutica durante tres años. Empezó entonces a interesarse por las matemáticas y sus fundamentos filosóficos, y se trasladó a Cambridge para estudiar lógica bajo la dirección de Bertrand Russell (1912-1913).

Los valores de verdad de las proposiciones, tales como conjunciones o disyunciones, se pueden describir por las tablas de verdad. La tabla de verdad de una proposición P, formada por las proposiciones individuales p1, . . . , pn, enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para p1, . . . , pn, donde V denota verdadero y F denota falso, y da la lista de valores de verdad de P para cada combinación. (Johnsonbaugh, Richard.2005; Página 3).

Aunque tal vez haya un camino más corto para determinar los valores de verdad de una proposición P formada al combinar las proposiciones p1, . . . , pn usando operadores como ￢ y ∨, la tabla de verdad siempre proporcionará todos los valores de verdad posibles de P para diferentes valores de las proposiciones que la constituyen p1, . . . , pn. (Johnsonbaugh, Richard.2005; página 7).

Precedencia del Operador (Dato importante) 

En las expresiones que incluyen algunos o todos los operadores ¬, ∧ y ∨, en la ausencia de paréntesis, primero se evalúa ¬, después ∧ y luego ∨. Esta convención se conoce como precedencia del operador. En álgebra, la precedencia del operador indica que se evalúan · y / antes que + y –.(Johnsonbaugh, Richard.2005; Página 6).

Componentes de la tabla de verdad 

Mediante la tabla de verdad podemos hallar la matriz principal que define al esquema proposicional.

Para construir una tabla de verdad se debe entrecruzar una recta vertical con una horizontal, llamándose margen al lado izquierdo y cuerpo al lado derecho. En la parte superior del margen se colocan las variables, y en la parte superior del cuerpo la fórmula proposicional. (Jonattan Poul León Segura 2013)

Combinaciones de Variables Proposicionales

Para estimar las filas o arreglos de valores de verdad, considerando que se conocen 2 valores de verdad F (Falso) y V (Verdadero), aplicaremos procesos matemáticos que nos permitan saber las posibles combinaciones de los valores de verdad, según las variables identificadas que están vinculadas por uno o varios conectivos lógicos.  

La regla del producto también conocida como el principio de elección:

Si un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda, y si existen m resultados posibles de la primera eta y si, para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar en el orden dado, de mxn formas. (Ralph, Grimaldi. 1997; página 5)  

Formula:  

2^{(número de variables)}

Ejemplo 1:

 (  )  (  ) 

Se considera 2 variables p y q. Por tanto la estimación de filas serán 2⁽²⁾ = 4.

Ejemplo 2:

(  )   (  ) 

Se considera 3 variables p,q y r. Por tanto la estimación de filas serán 2⁽³⁾ = 8.

Ejemplo 3:

(  s)   ( ) 

Se considera 4 variables p,q, r y s. Por tanto la estimación de filas serán 2⁽⁴⁾ = 16.

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Autor: 

 José Alexander Cojón Pérez

Profesor Física y Matemática 

 cienciaeducacion100@gmail.com

Fuentes Consultadas:

Ralph, Grimaldi. 1997. MATEMÁTICAS DISCRETAS Y COMBINATORIA.

3ra edición. ADDISON-WELEY IBEROAMERICANA. Pagina 5, 51.

Johnsonbaugh, Richard.2005. Matemática Discreta, Sexta edición, PEARSON EDUCACIÓN, México, Página 3,6,7

Christopher Clapham and James Nicholson (2009)  «truth table» (en inglés), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Oxford University Press, Recuperado de:  http://www.oxfordreference.com/search?q=truth+table&searchBtn=Search&isQuickSearch=true  [Consulta: 11 de febrero. 2018].

Soluciones Matemáticas Discretas (2010). Cálculo Proposicional. Recuperado de https://sites.google.com/site/mathematicasdiscretesolutions/home/proposiciones/tablas-de-verdad [Consulta: 11 de febrero. 2018].

Biografías y Vidas. Ludwig Wittgenstein. Recuperado de: https://www.biografiasyvidas.com/biografia/w/wittgenstein.htm  [Consulta: 11 de febrero. 2018].

Biografías y Vidas. Charles S. Peirce. Recuperado de: https://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/peirce.htm [Consulta: 11 de febrero. 2018].

Jonattan Poul León Segura  (2013 )Recuperado de http://lizerindex.blogspot.com/2013/10/partes-de-la-tabla-de-verdad.html [Consulta: 11 de febrero. 2018].