¿Cómo resolver triángulos rectángulos?

Trigonometría de triángulos rectángulos

Definición:

Porción del plano limitada por 3 rectas que se intersecan una a una en puntos llamados vértices.

Los triángulos se clasifican por la longitud de sus lados o la magnitud de sus ángulos.

Triángulos rectángulos

Su origen se encuentra en la cultura egipcia, específicamente en la geometría egipcia.

Los egipcios dominaban a la perfección los triángulos, ya que fueron la base para la construcción de sus pirámides, así como la medición de tierras. Se auxiliaban de los anudadores, hacían nudos igualmente espaciados para medir y se dieron cuenta que al ubicar cuerdas de diversas longitudes en forma de triángulo obtenían ángulos rectos y, por tanto, triángulos rectángulos, lo cual significa que tenían conocimiento de la relación que existe entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo.

Sin embargo, Pitágoras fue el primero en demostrar el teorema que lleva su nombre, el cual establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, aunque los egipcios y babilónicos lo utilizaban en sus cálculos y construcciones, pero sin haberlo demostrado.

(Colegio Nacional de Matemáticas,2009)

Solución de triángulos rectángulos:

 Dados tres datos de un triángulo, si uno de ellos es un lado, encontrar el valor de los datos restantes.

Para los triángulos rectángulos basta conocer el valor de uno de los lados y algún otro dato, el cual puede ser un ángulo u otro lado, debido a que el tercer dato siempre está dado ya que, al ser triángulo rectángulo, uno de los ángulos siempre será de 90°.

Cabe destacar que el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas son de suma importancia para la resolución de triángulos rectángulos.

Naturaleza del triángulo a partir del teorema de Pitágoras:

Razones trigonométricas

En los triángulos semejantes los ángulos son iguales y los lados homólogos son proporcionales. La razón entre los lados de un triángulo determina su forma.

Dado un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo agudo θ se definen:

• El seno es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
• El coseno es el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
• La tangente es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.  

Estas razones no dependen del tamaño del triángulo sino del ángulo.

 Despeje de las razones trigonométricas del ángulo θ: 

Razones trigonométricas del angulo ∅:

Despeje de las razones trigonométricas del ángulo ∅:

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Autor: 

 José Alexander Cojón Pérez

Profesor Física y Matemática 

 cienciaeducacion100@gmail.com

Fuentes consultadas:

Colegio Nacional de Matemáticas, (2009) Matemáticas simplificadas, Segunda edición, México. Editorial Pearson Educación. Página 857. 

María José García Cebrian. Consolación Ruiz Gil (2017) Trigonometría.  Recuperado de : http://procomun.educalab.es/es/ode/view/1416349667634 [Consulta: 14 de febrero. 2018].

¿Cómo Despejar Formulas?

“Este es un universo matemático. Estamos rodeados de ecuaciones y sumas... Tu vida es un reflejo de todas las opciones que has seguido en la innumerable cantidad de elecciones puntuales que has cruzado” 

― Steve Maraboli

Muchos de los procesos estudiados en la física y otras disciplinas de la ciencia, con frecuencia es necesario resolver (despejar) una formula o una ecuación. Este proceso permite describir la dependencia de una cantidad respecto a otra.

El objetivo de dicho proceso es determinar el valor de una letra o incógnita en base a otras teniendo que aplicar para ellos las reglas algebraicas de las ecuaciones llamadas técnicas de transposición de términos.

Llamaremos transposición de términos a una técnica que nos permite poder solucionar ecuaciones de forma simple. La transposición de términos nos permite agrupar en un miembro todos los términos con x, y en otro los términos que son independientes.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS IGUALDADES QUE PERMITEN TRANSFORMAR LAS ECUACIONES:

1er. PRINCIPIO. - Si a ambos miembros de una ecuación se suma o resta una misma expresión o
un mismo número, resulta una ecuación equivalente a la primera.
Ejemplo:Sea la ecuación A = B donde A y B son el primery segundo miembro y “m” una cantidad cualesquiera,entonces:A ± m = B ± m

2do. PRINCIPIO. - Si a ambos miembros de una ecuación se multiplica o divide por un mismo
número o por una misma expresión independiente de x(m ≠ 0, m ≠ ∞) se obtiene una ecuación que es equivalente a la primera.
Ejemplo:Sea la ecuación: A = BMultiplicando por  m ≠ 0, m ≠ ∞ ; se tiene:
A . m = B . mdividiendo entre m ≠ 0, m ≠ ∞ ; se tiene:

A        B

–– = –––

m       m

3er. PRINCIPIO. - Si a ambos miembros de una ecuación se eleva a una misma potencia o se extrae
una misma raíz, la ecuación que resulta es parcialmente equivalente a la primera.
Ejemplo:
Sea la ecuación:
A = B
o:
A - B = 0
Elevando los dos miembros a la “m”:
A⌃m = B⌃m
o:
A⌃m - B⌃m = 0
(Lexus Editores S. A. 2008)

Propiedad de transposición directa en igualdades y ecuaciones:

La transposición directa es una propiedad y método de trabajo por el cual podemos mover términos y operaciones desde un miembro de la ecuación al otro en operación invertida.

Dado a + b = c donde a = c - b. Aquí hemos pasado el termino +b (que estaba sumando) al segundo miembro que ahora está restando.

Dado a/b = c donde a = c*b. Aquí pasamos termino b que estaba dividiendo, al segundo miembro donde ahora está multiplicando.

Dado a^b = c donde a = c^1/b. Aquí pasamos el termino b que era exponente de potencia, al segundo miembro que ahora va como raíz.

En el método de transposición tenemos que respetar las reglas de prioridad de las operaciones.

Dado (a + b)/c = d

Tenemos que transponer primero la división de (c),

a + b = d*c

Y después podemos transponer los términos de suma

a = (d*c) – b

Como podemos ver en el dibujo, en la transposición de términos u operaciones no tenemos que hacer ninguna operación (suma, resta, multiplicación, etc.) solo movemos "físicamente" los términos al otro lado de la igualdad o ecuación en su operación inversa.

Principio de transposición

Cuando un término u operación es transposicionada al lado contrario de la igualdad, los dos miembros de dicha igualdad cambian en la misma cantidad.

Transposición: Sencillo y simple método

La transposición es un sencillo y simple método de organizar ecuaciones e igualdades debido a que no necesitamos de operaciones matemáticas sino solo mover términos.

Contrariamente, en el operacional método necesitamos de doble operación y doble simplificación para cambiar los términos.

¿Como funciona el método de la transposición?

En las igualdades y ecuaciones los dos miembros son equivalente y entonces al cambiar uno de ellos también tenemos que cambiar el otro en el mismo valor.

Dado 25 - 8 = 17

Aquí si eliminamos el termino (-8) entonces tenemos que compensar el segundo miembro con un valor que haga nuevamente equivalente a la igualdad.

¿Y cuál es ese término? Desde luego, el inverso valor de -8, es decir, +8, y entonces:

25 = 17 + 8

Esto ocurre con cualquier tipo de operaciones:

8*5 = 40 y entonces 8 = 40/5

Luego la transponer es mover términos (en su valor inverso) entre los lados de las ecuaciones.

Como explicamos la multiplicación en cruz.?

--La multiplicación en cruz puede explicarse por medio de una doble transposición de denominadores.

--Pero también puede explicarse por medio de la igualación de miembros por adecuada mezcla de los mismos.

Ciertamente, en la multiplicación en cruz un miembro está compuesto por la multiplicación del mayor numerador con el menor denominador, y el otro miembro esta compuesto por la multiplicación del numerador menor por el denominador mayor.

Por ejemplo: Dado 8/4 = 6/3 ----------> 8*3 = 6*4

Ello es posible ya que tanto numeradores como denominadores son equivalentes, y los miembros son iguales.

Normas de procedimiento

Como vemos en el dibujo, en la transposición de términos y operaciones de un miembro a otro en ecuaciones e igualdades, los términos (suma, resta) son independientes y prioritarios y se pasan directamente con signo contrario.

En cambio, las operaciones están incluidas y sujetas a los términos y se han de transponer estos términos antes de proceder a transponer las operaciones.

(Mancebo, Fernando. 23-6-2012). 

Fuentes consultadas: 

• Lexus Editores S. A (2008) Álgebra Manual De Preparación Pre-universitaria, Primera edición, Editorial de Lexus Editores. Perú. Páginas 277, 278.
•  Mancebo, Fernando. (23-6-2012). Propiedad de transposición directa en igualdades y ecuaciones. Recuperado de http://fermancebo.com/transposicion_propiedad.html. [Consulta: 26 enero. 2018].

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Autor: 

                                                             José Alexander Cojón Pérez

Profesor Física y Matemática 

 cienciaeducacion100@gmail.com

Diferencia entre ecuación y formula para la física.

El universo en fórmulas

"En física las palabras y las fórmulas están conectadas con el mundo real".
-Richard Feynman. 

Es un hecho que la aplicación directa de las matemáticas es reflejada en las diferentes disciplinas de la ciencia, entre ellas la estadística, química y la física.

Para la física es importante el uso de las ecuaciones y fórmulas para determinar las relaciones entre las magnitudes. Con ellos se logra predecir con exactitud el comportamiento de las variables y sus dimensionales.

Definición de ecuación:

La ecuación es una proposición abierta en forma de igualdad cuyo valor de verdad, depende de una o varias variables. El conjunto de números que la haga verdadera se llama conjunto solución.  El grado de una ecuación se reconoce por el mayor exponente de su incógnita. Así tenemos ecuaciones de primer grado, segundo grado, etc. Pero no de indefinidamente de cualquier grado mayor. (Saravia, Otto 1999) 

Ejemplo 1:

x+2 =8

Descripción:

Ecuación de grado 1, con variable “x” e igualdad a 8.

Es decir que la respuesta en general al sustituir la variable, debe hacer cumplir dicha igualdad.

Para este ejemplo el numero 6 hace que la proposición se haga verdad.

 Definición de Formula:

El álgebra es en realidad una generalización de la aritmética, en la que se usan letras para remplazar números. Si se asignan letras que representan magnitudes a cada uno de esos elementos, establecemos una formula general. (Tippens, Paul E. 2011)

Es decir que una fórmula es la manera establecida con anticipación de escribir o redactar una ecuación breve con un fin determinado.

Ejemplo 2:

F =m a

Formula que representa la segunda ley de Newton.

Descripción:

F = fuerza medida en N.

m = masa medida en kg.

a = aceleración medida en m/s2

Es decir que la respuesta en general al sustituir las variables, debe relacionar diferentes magnitudes para obtener una respuesta concreta. 

Para este ejemplo el conjunto solución para la fuerza, dependerá de los valores definidos para la masa y aceleración.  Si la fuerza neta es diferente a cero, el objeto en movimiento tiene aceleración o desaceleración; por lo tanto, el movimiento es uniformemente variado, pudiendo ser clasificado como   Uniformemente acelerado o uniformemente retardado.

Diferencia entre ecuación y formula:

En general una fórmula es muy útil para resolver problemas con datos definidos, entre las ventajas de una formula diremos que esta funciona en cualquier situación, donde debemos sustituir los números apropiados en la misma.

Pero si lo que deseamos es analizar y conocer el comportamiento de diferentes variables que intervienen en un fenómeno que se expresa en forma matemática, entonces es más importante el uso de ecuaciones.  

Las fórmulas como tales son expresiones algebraicas estáticas, en cambio las ecuaciones son proposiciones dinámicas.

Fuentes Consultadas:

Saravia, Otto. (2000), Matemática universitaria uno. Editorial Academia Latinoamérica de Matemática. Guatemala.  Página 131.

Tippens, Paul E. (2011) FISICA CONCEPTOS Y APLICACIONES, Séptima Edición, México. Editorial Mc Graw Hill. Mexico, D.F. Página 10. 

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Autor: 

                                                             José Alexander Cojón Pérez

Profesor Física y Matemática 

 cienciaeducacion100@gmail.com